Gummiband
Thema
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.
Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.
Parameter
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:
-Die Federkonstante K des Gummis
-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h
-Der Radius des Gummis r
-Die Dicke des Gummis rh
-Die Masse des Gummis m
-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin
-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U
-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U
-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3
-Konstanten:
-Luftdichte P
-Erdbeschleunigung g
Theorie
Grundlegende Erklärung
Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer Stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen.
Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird.
Energiebetrachtung
Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.
Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.
Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:
Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist. Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*n+b dargestellt. Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.
Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.
Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:
Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.
Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.
Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:
Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.
Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.
Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.
Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.
Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):
Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:
Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:
Flug kein Luftwiderstand
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.
Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.
Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.
Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.
Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz
Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.
Luftwiderstand
Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist
Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:
Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.
Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.
Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.
Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:
Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes
Daten
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
Erfolge
Wir haben dieses Jahr an der berlinweiten Runde des GYPT teilgenommen. Wir kamen aber nicht weiter als diese Runde. Wir wollten eigentlich auch bei Jugend forscht teilnehmen, dies ist aber nicht zu Stande gekommen, da es Probleme bei der Anmeldung gab.
