Jet refraction

Thema

"A vertical jet can be refracted when passing through an inclined sieve with a fine mesh. Propose a law for such refraction and investigate relevant parameters."

Ein vertikaler Strahl kann beim Durchgang durch ein schräg stehendes feinmaschiges Sieb gebrochen werden. Schlagen Sie ein Gesetz für eine solche Brechung vor und untersuchen Sie die relevanten Parameter.

Grundlage des Phänomens

Das Auftreten der Ablenkung des Wasserstrahls ist auf mehrere Effekte zuruckzuführen. Zunächst tritt zwischen den Streben des Netzes und dem vorbeiströmenden Wasser Adhäsion auf, worauf hin der Wasserstrahl etwas langsamer an den Streben entlang nach unten fließt. Durch die Erdbeschleunigung löst sich das Wasser dennoch von den Streben und verbindet sich durch Kohäsion wieder zu einem Wasserstrahl. Der durch die Ablenkung an dem Gitter veränderte Impuls verursacht, dass sich der Wasserstrahl anschließend auf einer Bahnkurve vergleichbar mit der eines Ballwurfs bewegt.

Vorstellung Experiment

Versuchsaufbau

Wärend des Experiments soll das Sieb gedreht werden können, ohne dass sich die Höhe, auf der das Wasser auf das Sieb trifft, verändert. Dazu haben wir das Sieb so eingespannt, dass sich die Drehachse auf dem Sieb befindet. Über dem Sieb haben wir einen Schlauch eingespannt, aus dem das Wasser durch das Sieb in das Aquarium fließt.Das Aquarium fängt nur das Wasser auf und hat sonst keinen weiteren Zweck. Der Schlauch ist mit dem Wasserhahn verbunden und in der Mitte des Schlauchs ist ein Durchflusssensor eingebaut, sodass wir den Volumenstrom messen können. Wir verwenden ausschließlich Siebe, die aus einem Drahtgewebe aus zueinander senkrecht oder parallel verlaufenden Streben bestehen, wobei die Streben zylinderförmig sind. Hinter dem Sieb hängt ein kariertes Blatt, welches uns beim Messen der Brechung des Strahls hilft. Auf der anderen Seite des Siebs steht die Kamera, mit der wir das Experiment aufnehmen. Der Schlauch, das Sieb und das karierte Papier wird von Stativmaterial gehalten.

Durchführung

Die relevanten Parameter sind:

• $$\alpha$$: Winkel zwischen Sieb und Horizontalen

• V̊: Volumenstrom

• $$v_i$$ : ursprüngliche Geschwindigkeit des Wassers

• $$b$$: Dicke der Streben

• $$m$$: Abstand der Streben

• Eigenschaften der Flüssigkeit

• Material des Siebs

Um das Phänomen zu untersuchen, haben wir den Winkel α, den Volumenstrom V̊ und die Sieb größe betrachtet. Zunächst haben wir den Winkel α auf 0 eingestellt und anschließend Stück für Stück vergrößert. Dies haben wir mit vier verschiedenen Sieben und drei verschiedenen Volumen- strömen ausgeführt.

Volumenströme:

Volumenstrom	$$m$$
V̊1	$$8, 89 \frac{ml}{s}$$
V̊2	$$20 \frac{ml}{s}$$
V̊3	$$40 \frac{ml}{s}$$

Sieb	$$m$$	$$b$$
M1	0,9mm	0,3mm
M2	0,85mm	0,25mm
M3	3,2mm	0,8mm
M4	4,2mm	0,7mm

Theorie

Um die Bahnkurve des Wasserstrahls zu beschreiben, haben wir die Formel für einen schrägen Wurf verwendet.

$$\Delta z = -\frac{g}{2 \cdot \cos^{2}\left( \varphi \right) \cdot v_{s}^{2}} \cdot \Delta x^{2} + \tan\left( \varphi \right) \cdot \Delta x$$

Diese Formel können wir nun nach dem Winkel $$\varphi$$ umstellen.

$$\Delta z = -\frac{g}{2 \cdot \cos^{2}\left( \varphi \right) \cdot v_{s}^{2}} \cdot \Delta x^{2} + \tan\left( \varphi \right) \cdot \Delta x$$

$$\frac{\Delta z}{\Delta x} = -\frac{g}{2 \cdot \cos^{2}\left( \varphi \right) \cdot v_{s}^{2}} \cdot \Delta x + \tan\left( \varphi \right)$$

Wir wissen, dass $$\frac{1}{\cos^2\left(\alpha \right)} = 1 + \tan^2 \left( \alpha \right)$$ gilt, damit erhalten wir

$$\frac{\Delta z}{\Delta x} = -\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} \cdot \left(1 + \tan^2 \left( \varphi \right) \right) + \tan\left( \varphi \right).$$

$$\frac{\Delta z}{\Delta x} = -\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} -\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} \cdot \tan^2\left( \varphi \right) + \tan \left( \varphi \right)$$

Jetzt setzen wir $$\phi$$ für $$\tan(\varphi)$$ ein.

$$\frac{\Delta z}{\Delta x} = -\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} -\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} \cdot \phi^2 + \phi$$

$$0 = \frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}} \cdot \phi^2 - \phi + \frac{\Delta z}{\Delta x} +\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}}$$

Nun können wir durch $$\frac{g \cdot \Delta x}{2 \cdot v_{s}^{2}}$$ teilen.

$$0 = \phi^2 - \frac{2 \cdot v_{s}^{2}}{g \cdot \Delta x} \phi +1+ \frac{\Delta z \cdot 2 v_{s}^{2}}{g \cdot \Delta x^2}$$

Mit der p-q-Formel ergibt sich:

$$\phi_{1/2} = \frac{v_s^2}{g \cdot \Delta x} \pm \sqrt{\Big(\frac{v_s^2}{g \cdot \Delta x}\Big)^2 - 1 - \frac{\Delta z \cdot 2 v_{s}^{2}}{g \cdot \Delta x^2}}$$

Jetzt können wir $$\tan(\varphi)$$ für $$\phi$$ einsetzen.

$$\tan\left( \varphi \right)_{1/2} = \frac{1}{g \cdot \Delta x} \big(v_s^2 \pm \sqrt{v_s^4 -g^2\cdot \Delta x^2 - \Delta z \cdot g \cdot 2v_s^2}\big)$$

Da wir den negativen Winkel benutzen, benutzen wir die Formel mit dem Minus.

$$\tan\left( \varphi \right) = \frac{1}{g \cdot \Delta x} \left(v_s^2 - \sqrt{v_s^4 -g^2\cdot \Delta x^2 - \Delta z \cdot g \cdot 2v_s^2}\right)$$

$$\varphi = \arctan\left(\frac{1}{g \cdot \Delta x} \left(v_s^2 - \sqrt{v_s^4 -g^2\cdot \Delta x^2 - \Delta z \cdot g \cdot 2v_s^2}\right) \right)$$

Aufgrund der Reibung wird das Wasser langsamer, wärend es durch das Sieb fließt. Deshalb ist der Wasserstrahl über dem Sieb dünner, als unter dem Sieb. Die offene Fläche des Siebs, durch die das Wasser fließt, kann durch die Formel $$A_{s2} = \displaystyle\frac{A_{s1}\cdot (m-b)^2}{(m)^2}$$ beschrieben werden. Hierbei ist $$A_{s1}$$ die Querschnittsfläche des Wasserstrahls direkt vor dem Sieb. Die Geschwindigkeit, mit der das Wasser das Sieb passiert, kann man nun mit der Kontinuitätsgleichung berechnen.

V̊$$= v_{i} \cdot A_i = v_{s2} \cdot A_{s2}$$

$$v_{s2} =\frac{ v_{i} \cdot A_i}{A_{s2}}$$

$$v_{s2} =\frac{v_i \cdot A_i \cdot m^2}{A_{s1}\cdot (m-b)^2}$$

$$v_{s2} =\frac{V̊ \cdot m^2}{A_{s1}\cdot (m-b)^2}$$

Messungen

Um sinnvolle Messergebnisse zu erhalten, haben wir uns die Höhe $$\Delta z$$ unter dem Punkt, bei dem das Wasser auf das Sieb trifft, ausgesucht. Auf dieser Höhe schauen wir uns die Ablenkung des Wasserstrahls $$\Delta x$$ an. Wir haben immer den Abstand des Wasserstrahls $$\Delta x$$ zum rechten Rand des karierten Papiers gemessen. Da der Wasserstrahl nicht nur eine dünne Linie ist haben wir den Abstand von beiden Rändern des Wasserstrahls zum rechten Rand des Papiers gemessen. Für die Rechnung haben wir dann die Mitte des Wasserstrahls benutzt.

Erfolge

Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Antonia, Jolanda)

Quellen

F. Azizi und A. M. Al Taweel,Hydrodynamics of Liquid Flow through Screens and Screen-Type Static Mixers, Taylor & Francis Group, 2011

Zenghui Zhaoa, Yoav Pelesb und Michael K. Jensen, Water jet impingement boiling from structured-porous surfaces, Elsevier, 2013

https://de.wikipedia.org/wiki/Coandǎ-Effekt [January 02, 2023; 7:35 pm]