Ruler Trick X
Dieser Artikel handelt vom Projekt "Ruler Trick" von Theodor Sabat (15) und Almas Yusefzai (15). Im Schuljahr 2023/24 haben wir das 14. Projekt des German Young Physicists' Tournament (GYPT) "Ruler Trick" im Rahmen des PhyX Kurses am Herder-Gymnasium bearbeitet.
Thema
GYPT - Aufgabenstellung
"Place a ruler on the edge of a table, and throw a ball at its free end. The ruler will fall. However, if you cover a part of the ruler with a piece of paper and repeat the throw, then the ruler will remain on the table while the ball will bounce off it. Explain this phenomenon, and investigate the relevant parameters."
"Legen Sie ein Lineal auf die Tischkante und werfen Sie einen Ball auf das freie Ende des Lineals. Das Lineal fällt herunter. Wenn man jedoch einen Teil des Lineals mit einem Stück Papier abdeckt und den Wurf wiederholt, bleibt das Lineal auf dem Tisch liegen, während der Ball davon abprallt. Erkläre dieses Phänomen und untersuche die entsprechenden Parameter."
Dieser Versuch hat mit Kräften und Hebeln zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.
Theorie
Phänomen
Sobald der Tennisball das Lineal trifft, drückt es diesen nach unten. Das Lineal wirkt dabei wie eine Art Hebel und drückt mit einer Kraft ($$F_u$$) auf der anderen Seite nach oben. Dabei wird nur eine Fläche A des Papiers hochgedrückt, welche bei uns so groß ist wie der Bereich des Lineals, was $$0,06cm \cdot 0,2cm$$ groß ist, das unter dem Papier ist. Das kann man im Bild links erkennen.
Das Hauptprinzip funktioniert so:
Wenn man ein Blatt Papier auf den Tisch legt, ist darunter kaum Luft eingeschlossen. Wenn man es jedoch von der Mitte aus anhebt, vergrößert sich das Volumen der Luft darunter. Da es jedoch keine guten Luftkanäle an den Rändern gibt, kann man keine Luft ansaugen, um das Volumen zu vergrößern, und so wird der Druck gesenkt.
$$p \cdot V=n \cdot R \cdot T$$
Dazu gibt es die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases. Die Stoffmenge $$n$$ ändert sich ideal nicht, ebenso die molare Gaskonstante $$R$$ und die Temperatur $$T$$ auch nicht. Das heißt, dass der Druck $$p$$ kleiner werden muss und das Volumen $$V$$ größer wird , damit die Gleichung erfüllt bleibt.
Das bedeutet, dass der Druck unter dem Papier niedriger ist als der Außendruck und der Außendruck(atmosphärische Druck) drückt auf das Papier. Anders gesagt: Der Außendruck bringt eine Kraft $$F_p$$ der Kraft des Papier, das jetzt nach oben drückt, entgegen , weshalb das Papier in Position gehalten wird und das Lineal nicht runter fällt.
Um zu zeigen, dass dieser Effekt (Lineal bleibt auf dem Tisch) nur am Druckunterschied liegt, haben wir diesen Versuch unter einer Vakuumglocke durch geführt. Bei normal Luftdruck ist der Effekt wie erwartet vorgekommen. Und als wir die Glocke angeschaltet haben (Druck nähe 0), wurde das Blatt in die Luft gedrückt und das Lineal ist runtergefallen.
Es gibt auch noch ein anderes Phänomen, nämlich wenn wir den Ball auf das Lineal legen, anstatt es zuwerfen, dann wirkt die Gewichtskraft $$F_G$$ die ganze Zeit auf das Lineal, während es darauf liegt. Das Papier wird dadurch langsam angehoben und die Luft hat genug Zeit, unter das Papier zu gelangen. Das führt dazu, dass das Volumen unter dem Papier größer wird und die Luft unter das Papier strömt. Der atmosphärische Druck kann das Papier nicht auf den Tisch drücken, was bedeutet, dass das Lineal runterfällt.
Wichtige Parameter
Zur weiteren Untersuchung dieses Versuchs haben wir einige relevante Parameter gefunden, die einen Einfluss auf den Versuch haben könnten. Später wird erklärt welchen Einfluss die jeweiligen Parameter haben, doch nicht zu jedem dieser Parameter haben wir daten bzw. Messwerte.
$$\Rightarrow$$ Masse des Balls m
$$\Rightarrow$$ Länge des Papiers l
$$\Rightarrow$$ Breite des Papiers w
$$\Rightarrow$$ Fallhöhe h
$$\Rightarrow$$ Länge des Lineals l(r)
$$\Rightarrow$$ Breite des Lineals w(r)
$$\Rightarrow $$Länge des Lineals unter Papier l(p)
$$\Rightarrow $$Federkonstante des Lineals k
$$\Rightarrow$$ Elastizität des Balls
$$\Rightarrow$$ Papierform
Theoretischer Teil
Die linke Skizze zeigt das ungefähre Verhalten der Kräfte über ein Zeit, die wir erwarten würden. Während der Kontaktzeit zwischen dem Ball und dem Lineal übt der Ball eine Kraft auf das Lineal aus. Das Lineal drückt danach einen bestimmten Bereich des Papiers hoch. Diese Kraft($$F_u$$), die das Lineal auf das Papier ausübt, können wir messen. Damit das Papier auf den Tisch bleibt muss die Kraft vom Druck größer oder gleich der Kraft des Lineals, dass nach oben drückt, sein: $$F_p >= F_u$$. Dann wirkt nämlich eine Gesamtkraft in den Tisch rein oder die Kräfte neutralisieren sich. Wenn $$F_p < F_u$$, dann wirkt eine Gesamtkraft vom Tisch weg und das Blatt wird nach oben gedrückt, weshalb die Luft genug Zeit hat, um unter das Papier zu fließen. Dadurch wird der Druckunterschied kleiner bzw. gleich, weshalb es keine bzw. eine zu kleine Druckkraft gibt, weshalb das Lineal runter fällt.
.
.
Um diese Druckkraft $$F_p$$ zu berechnen, müssen wir drei Sachen messen, um sie in folgende Gleichung einzusetzen:
$$F = \Delta p \cdot A$$
$$F_p = (p_{out} – p_{in}) \cdot A$$
Das heißt, dass wir den Außendruck, den Innendruck(unter dem Papier) und die Fläche A, die hoch gedrückt wird, brauchen, um die Druckkraft berechnen zu können.
Der Bereich unter dem Graphen, den wir ausgefüllt haben, kann man als $$F \cdot \Delta t$$ darstellen, was nichts anderes ist als Impuls:
$$F \cdot \Delta t= m \cdot a \cdot \Delta t$$
$$F \cdot \Delta t= m \cdot \frac{v}{\Delta t} \cdot \Delta t$$
$$F \cdot \Delta t= m \cdot v$$
$$F \cdot \Delta t= p$$
Das heißt, dass der Gesamtimpuls hier wichtig ist. Somit gilt die Ungleichung von oben, nur auf den Impuls bezogen: Wenn der Gesamtimpuls vom Tisch weg zeigt, dann fällt das Lineal runter. wenn der Gesamtimpuls in Richtung Tisch zeigt, dann wird das Papier in den Tisch rein gedrückt und das Lineal fällt nicht runter.
.
Wenn wir uns also die Differenz der Kräfte anschauen, dann sollte der Druckimpuls die meiste Zeit vorliegen, da dann so das Lineal nicht runterfällt. Wenn der Linealimpuls die meiste Zeit wirkt, dann wird das Blatt angehoben und das Lineal fällt runter.
.
Mit dieser Möglichkeit könnten wir theoretisch vorhersagen, ob das Lineal auf dem Tisch bleibt oder nicht.
.
.
Erklärung der Parameter
$$\Rightarrow$$ Die Masse des Balls m und die Fallhöhe h ändern die Gesamtenergie, die der Ball besitzt:
$$E_{pot} = m \cdot g \cdot h$$
Je höher diese Werte sind, desto höher ist die Potentielle Energie, das das System Ball Erde hat. Beim Aufprall mit dem Lineal wird dann mehr Energie umgewandelt, wodurch eine größere Kraft vom Lineal auf das Papier ausgeübt wird.
$$\Rightarrow$$ Die Länge und Breite des Papiers machen aus, ob es genug Papier um das Lineal gibt, dass das schnelle Nachströmen von Luft aufhalten kann. Damit zusammenhängend ist bei Papierform zusagen, dass das wichtige hierbei ist, dass es genug Papier um das Lineal gibt, damit die Luft nicht unter das Papier strömen kann und so ein Druckunterschied herrscht. Je größer dieser Druckunterschied ist, desto größer ist auch die Druckkraft. Dementsprechend führt eine Fläche, bei der Luft schlechter unter das Papier fließen kann, zu einer größeren Druckkraft.
$$\Rightarrow$$ Die Länge und Breite des Lineals bestimmen, wie viel Fläche vom Papier nach oben gedrückt wird. Je größer diese Werte sind, desto größer ist die Fläche, die nach oben gedrückt wird und damit zusammen hängend ist auch die Druckkraft größer.
$$\Rightarrow$$ Die Elastizität des Balls bestimmt die Kontaktzeit zwischen dem Lineal und dem Ball. Wenn die Kontaktzeit länger ist, wird das Papier dementsprechend auch mehr angehoben, da der Ball länger eine Kraft auf das Lineal ausübt und somit eine Kraft länger das Blatt anhebt, weswegen Luft noch mehr Zeit hat, um unter das Blatt zukommen. Dadurch ist der Druckunterschied kleiner und dementsprechend die Druckkraft auch.
$$\Rightarrow$$ Je größer die Federkonstante des Lineals ist, desto schwerer lässt es sich aus lenken. Gleichzeitig heißt das auch, dass es mehr wie ein Hebel fungieren könnte, wodurch die Energieübertragung noch besser funktionieren würde und weniger Energie in die Spannenergie "verloren" werden würde.
Je größer die Druckkraft ist, desto besser würde das Papier runter gedrückt werden, wodurch das Lineal sehr schwer runter fallen würde. Wenn die Kraft vom Lineal größer wird, dann wird das Papier leichter nach oben gedrückt, wodurch das Lineal leichter runter fallen würde.
Aufbau
Grundaufbau
Unser Grundaufbau besteht ledeglich aus einem Metalllineal, was 40cm lang ist, und einem A4 Papier$$(29,5cm \cdot 21cm)$$. Als Ball haben wir immer einen Tennisball genutzt, der 60,6g gewogen hat. Weiterhin stand ein Stativ stets da, damit wir immer von der selben Höhe werfen konnten. Das Lineal war bei unseren Messungen stets zur Hälfte unter dem Papier und hälfte über der Tischkante. Letzteres haben wir nur einmal geändert, als wir geschaut haben, wie groß die minimale Länge und Breite des Papiers ist. Mit diesem Aufbau konnten wir jedoch nicht viele Messwerte kriegen, sondern nur schauen , ob das Lineal auf dem Tisch bleibt oder nicht und die minimale Länge und breite des Papiers.
Wir hatten eine Markierung auf dem Lineal, worauf immer gezielt wurde, damit wir dieselben Umstände für die Messwerte haben.
ㅤ
ㅤ
ㅤ
Druckmessung
Für die Druckkraft brauchen wir die hochgedrückte Fläche A und den Druckunterschied. Die Fläche A lässt sich einfach berechnen, da diese einfach die Fläche des Lineals unter dem Papier ist. Um den Druckunterschied zu bestimmen brauchen wir einmal den Außendruck und den Innendruck. Der Außendruck lässt sich leicht bestimmen. Für den Innendruck brauchen wir jedoch einen anderen Aufbau.
Dazu haben wir drei Löcher in eine Metallplatte gebohrt. Diese sind in verschiedenen Abständen zur Tischkante gemacht, um bestimmen zu können, welcher Abstand eine höhere Druckdifferenz hervorruft.
Das Druckmessgerät wurde mit Knete an der Unterseite befestigt. Die Löcher, welche nicht im Gebrauch waren, wurden mit Knete verschlossen.
Ebenfalls haben wir die Metallplatte an den beiden Langen Seiten an Tischen abgestützt, um schütteln zu vermeiden und einen festen Untergrund zu ermöglichen.
Danach haben wir den Ball von unterschiedlichen Höhen (20cm, 30cm, 40cm, 50cm und 60cm) auf das Lineal geworfen.
ㅤ
ㅤㅤ
Kraftmessung
Zur Messung der Kraft, die das Lineal auf das Papier ausübt $$(F_u)$$ haben wir ein Messgerät mithilfe einer Tischklemme am Tisch befestigt.
Das Messgerät war auf die Mitte des Lineals befestigt. Leider haben wir nicht an verschiedenen Stellen des Lineals die Kraft gemessen, weshalb wir nur die Messwerte von der Mitte des Lineals miteinander vergleichen können.
Wir haben auch hier wieder von verschieden Höhen (20cm, 30cm, 40cm, 50cm und 60cm) den Ball auf das Lineal geworfen.
Der Kraftmesser war war über einen Adapter mit dem Laptop verbunden und alle Messungen wurden mit der App LoggerLite durch geführt.
Kontaktzeit
Zur Bestimmung der Kontaktzeit haben wir von der Seite den Aufprall des Balls mit dem Lineal gefilmt und in Slow-Motion uns angeschaut. Dadurch haben wir erfahren, dass die Kontaktzeit ca. 0,06sek war. Wir haben alle unsere Messungen nur an diese Kontaktzeit orientiert, da wir denken, dass nur während der Kontaktzeit das Lineal das Papier hochdrückt. Nach dieser Kontaktzeit schwingt das Lineal lediglich, weshalb nach der Kontaktzeit die Werte uns nicht interessieren.
Datenㅤ
Durch unsere Messung der Kraft Fu haben wir folgende Werte bekommen:
Diese haben wir rechts im Diagramm aufgetragen. Man kann erkennen, dass die Kraft größer wird, bei 0,4sek ihren Hochpunkt erreicht und dann wieder abflacht.
Weiterhin haben wir gemerkt, dass mit größer werdender Fallhöhe die Kraft, die der Kraftmesser gemessen hat, auch größer wurde. Damit hat sich die in der Theorie beschriebene Effekt, dass die Kraft mit zunehmender Fallhöhe größer wird, für die gemessenen Höhen (20cm, 30cm, 40cm, 50cm und 60cm) gilt.
Wenn wir die gemessenen Werte für die jeweiligen Kräfte in ein Diagramm packen, bekommen wir folgendes Abbild:
In diesem Flächendiagramm kann man die Kräfte $$F_u$$ und $$F_p$$ in Abhängigkeit zur Zeit. Die Zeit 0,06s ist die Kontaktzeit von Ball und Lineal.
Anhand diesem Beispiels kann man erkennen, dass die Fläche des Linealimpulses größer ist als die Fläche der Druckimpuls. In der Abbildung rechts ist die Kraftdifferenz dieser beiden wirkenden Kräfte dargestellt. Wenn man sich jetzt den Impuls anschaut, merkt man, dass fast die ganze Zeit der Linealimpuls agiert. Nach unserer Theorie müsste in diesem Beispiel das Lineal runterfallen, da Die Fläche des Linealimpulses über einer längeren Zeit größer ist als die Fläche der Druckimpuls. Jedoch ist beim Durchführen des Experiments das Lineal auf dem Tisch geblieben.
Wir glauben, dass unsere Theorie sehr akkurat ist und denken, dass der Grund für diese Messwerte das falsche Messen von der Kraft $$F_u$$ ist. Dabei haben wir Fehler beim fallenlassen des Balls gemacht und nicht immer die selbe Stelle des Lineals getroffen, weshalb der Hebelarm sich verkürzt haben könnte und dadurch die Kraft größer war.
Weiterhin denken wir, dass wir Fehler bei der Messung des Innendrucks gemacht haben. Es war möglicherweise mit Knete nicht so luftdicht eingeschlossen wie wir dachten und die Druckdifferenz könnte, weil es nicht so luftdicht war, kleiner sein, wodurch die Druckkraft auch kleiner wäre.
Gerätefehler schließen wir aus, da unsere Geräte auf eine Abweichung von weniger als 1% hatten. Ebenso schließen wir Rechenfehler aus, da wir unsere Rechnungen 3-5 mal durchgegangen sind und keine Fehler entdeckt haben.
Druckkraftㅤ
In den Diagrammen erkennt man die Druckkraft über die Zeit.
Hierbei betrachten wir den "Peak" der Druckkraft. Das bedeutet, der höchste Ausschlag der Kraft und den Zeitpunkt, wo dieser auftritt. Man kann erkennen diesen bei jedem dieser Diagramme. Dieser "Peak" hält jedoch für eine kurze Zeit.
In unserem Fall können wir die Unterschiede in der Druckkraft mit Hebelgesetzen erklären.
Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm
$$F_g * L_f=F_p * L_p$$ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
$$L_f$$ : Kraftarm freies Ende
$$L_p$$ : Lastarm Ende auf Tisch
.png)
.png)
Daraus können wir schließen, dass die Kraft aufwärts, näher am Drehpunkt, die höchste ist.ㅤㅤ
Diagramm weit von der Tischkante ㅤ
Nach unserer Theorie sollte hier die kleinste Kraft auftreten. Im
Im Vergleich zum Ergebnis stimmt dies nicht überein. Die Kraft steigt schnell auf ihren "Peak" um dann leicht abzusinken.
Diagramm mittig ㅤ
Nach unserer Theorie sollte in diesen Messungen ein Kraft "Peak" den beiden Anderen seien. Dies stimmt nicht überein, der Kraft "Peak" ist der schwächste von allen gemessenen.
Im Vergleich zu den Anderen Ergebnissen hat dieses Diagramm einen langsamen Anstieg der Kraft. Zuerst kann man einen Anstieg erkennen, der von einem leichten Abstieg gefolgt wird. Der "Peak" liegt bei 0,05s. Direkt nach dem "Peak" kommt es zu einem Abstieg und zum Ende der Kontaktzeit zwischen Lineal und Tennisball.
Diagramm nah an Tischkanteㅤㅤ
Nach unserer Theorie sollte diese Messung den stärksten Kraft "Peak" aufweisen, was sie auch ist.
Man kann erkennen, dass die Differenz zwischen den Kraft "Peak" von dieser Messung und der von dem Loch weit von der Tischkante relativ groß ist. Man kann ebenfalls erkennen wie die Kraft rapide ansteigt, um bei 0,04s den "Peak" zu erreichen. Danach sinkt die Kraft schnell auf einen im Vergleich niedrigen Wert.ㅤ
ㅤ
Außerdem haben wir die minimale Länge und Breite des Papiers für unterschiedliche Längen des Lineals und dem Papier heraus gefunden. Dafür haben wir jeweils nur die Länge oder die Breite verändert, indem wir das Papier zurecht geschnitten haben.
Für 20cm Lineal unter dem Papier liegt die minimale Breite zwischen 10cm und 11cm und bei 25cm vom Lineal unter dem Papier liegt die minimale Breite zwischen 5cm und 6cm. Wenn mehr vom Lineal unter dem Papier liegt, wird eine größere Fläche A hochgedrückt, weshalb der Bereich um das Lineal kleiner sein kann, weil das Lineal dennoch nicht fallen wird.
Etwas ähnliches können wir auch bei der minimalen Länge sehen. Die minimale Länge für 20cm vom Lineal unter dem Papier liegt zwischen 22,5cm und 23,5cm. Bei 25cm vom Lineal unter dem Papier liegt die minimale Länge zwischen 21,5cm und 22,5cm. Hier nimmt die minimale Länge auch ab, jedoch nicht so stark wie bei der minimalen Breite. Der Grund ist, dass wenn ein zu großer Teil vom Lineal hinter dem Papier rausschaut, das Lineal das Papier einfach anhebt und wie eine Art Hebel wirkt. Deshalb ist wichtig zu sagen, dass das Papier länger sein sollte als das Lineal.
Die wichtige Erkenntnis hier ist, dass es genug Papier um das Lineal geben sollte, damit die Luft nicht bzw. schwer nachströmen kann, damit die Druckdifferenz möglichst lange hoch bleibt.
Fazit
Zur Beschreibung dieses Effekts haben wir die verschiedenen Kräfte betrachtet, und anhand dieser eine Theorie aufgestellt, welche diesen Effekt beschreiben. Zudem haben wir auch ein vereinfachtes Modell (Skizze) erstellt. Um die Theorie weiter zu stützen, haben wir viele verschiedene Setups für unterschiedliche Messungen angefertigt, was weitergehend funktioniert hat, auch wenn wir das vollständige Modell nicht prüfen konnten.
Rückblickend hätten wir uns mehr auf die Messung der Kraft Fu und der des Innendrucks konzentrieren können, denn unsere Theorie war überhaupt nicht einstimmig mit unseren Messwerten. Außerdem sollten wir beim nächsten Mal unsere Werte und unser Messverfahren genauer dokumentieren, damit wir einen besseren Überblick über diese haben.
Wir hatten viel Spaß und Freude beim Experimentieren und Forschen. Auch wenn es mal Schwierigkeiten gab, konnten diese mit guter Kommunikation mit verschiedenen Menschen und guter Recherche überwunden werden.
Erfolge
BeGYPT
Jufo Regionalwettbewerb 4. Platz
Dankesausspruch
Wir bedanken uns herzlich bei Herrn Dr. Ebert für das Ermöglichen dieses Projekts und für die Unterstützung.
Weiterhin danken wir Fabian Schmitt und Antonia Macha.
